1. 向量点积（内积）
向量点积是一种标量值运算，通常用于描述两个向量之间的夹角关系。如果向量 \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, ..., a_n) \) 和向量 \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, ..., b_n) \)，那么它们的点积定义为：
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n
\]
换句话说，就是对应分量相乘后求和的结果。此外，点积还可以通过向量的模长和夹角表示为：
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta
\]
其中 \( |\mathbf{a}| \) 和 \( |\mathbf{b}| \) 分别是向量 \( \mathbf{a} \) 和 \( \mathbf{b} \) 的模长，\( \theta \) 是两向量之间的夹角。
2. 向量叉积（外积）
向量叉积仅适用于三维空间中的向量，并且结果是一个新的向量，其方向垂直于原两个向量所在的平面，大小等于这两个向量所围成平行四边形的面积。假设 \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \) 和 \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \)，则它们的叉积 \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \) 可以通过行列式的方式计算：
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix}
= \left( a_2b_3 - a_3b_2 \right)\mathbf{i}
- \left( a_1b_3 - a_3b_1 \right)\mathbf{j}
+ \left( a_1b_2 - a_2b_1 \right)\mathbf{k}
\]
这里 \( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \) 分别代表单位基向量 \( \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} \)。
以上就是关于向量 \( \mathbf{a} \) 和向量 \( \mathbf{b} \) 的两种常见乘法规则——点积和叉积的基本介绍。根据实际问题的需求选择合适的运算方式是非常关键的。希望这些信息能够帮助您更好地理解和应用向量乘法的概念！
