在数学中，我们常常会遇到一些有趣的数字规律问题。比如题目中提到的一个大于10的整数，它有一个独特的性质——当被5除时余数为1，而当被7除时同样余数为1。那么，满足这些条件的最小整数是多少呢？

首先，我们可以将这个条件转化为数学表达式。设这个未知数为\( x \)，则有以下两个同余式：

\[

x \equiv 1 \ (\text{mod} \ 5)

\]

\[

x \equiv 1 \ (\text{mod} \ 7)

\]

接下来，我们需要找到同时满足这两个条件的最小正整数。由于5和7是互质的，我们可以利用中国剩余定理来解决这个问题。

根据中国剩余定理，如果模数互质，则存在唯一解（模\( 5 \times 7 = 35 \)下）。因此，我们只需寻找一个数，它既能被5除余1，也能被7除余1。

观察可以发现，当\( x - 1 \)能被35整除时，上述条件成立。换句话说，\( x - 1 \)必须是35的倍数。于是，我们令\( x - 1 = 35k \)，其中\( k \)是一个整数。

为了使\( x \)大于10，我们可以尝试代入\( k = 1 \)，得到：

\[

x - 1 = 35 \times 1 = 35

\]

\[

x = 36

\]

验证一下：36除以5等于7余1，且36除以7等于5余1，完全符合题意。

因此，满足条件的最小整数是36。

希望这段内容能满足您的需求！如果还有其他问题，请随时告诉我。