【初中数学:二次函数的有关例题】在初中数学中，二次函数是一个重要的知识点，它不仅在考试中频繁出现，也是后续学习函数、方程、图像等知识的基础。本文将通过几个典型的例题，帮助学生更好地理解和掌握二次函数的相关内容，并以加表格的形式展示答案，便于复习和记忆。
一、基本概念回顾
二次函数的一般形式为：
$$ y = ax^2 + bx + c $$
其中 $ a \neq 0 $，$ a $ 决定了抛物线的开口方向和宽窄；
顶点坐标为：
$$ \left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) $$
对称轴为：
$$ x = -\frac{b}{2a} $$
与x轴交点（即根）可通过解方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 得到。
二、典型例题及解析
| 题号 | 题目 | 解答过程 | 答案 |
| 1 | 已知二次函数 $ y = x^2 - 4x + 3 $，求其顶点坐标和对称轴。 | 将表达式整理为标准形式：$ y = (x - 2)^2 - 1 $ 顶点坐标为 $ (2, -1) $，对称轴为 $ x = 2 $ | 顶点：$ (2, -1) $；对称轴：$ x = 2 $ |
| 2 | 求函数 $ y = -2x^2 + 6x - 4 $ 的最大值。 | 因为 $ a = -2 < 0 $，抛物线开口向下，有最大值。 顶点横坐标：$ x = -\frac{6}{2 \times (-2)} = 1.5 $ 代入得：$ y = -2(1.5)^2 + 6(1.5) - 4 = 0.5 $ | 最大值为 $ 0.5 $ |
| 3 | 若二次函数 $ y = x^2 + px + q $ 的图象经过点 $ (1, 2) $ 和 $ (2, 3) $，求 p 和 q 的值。 | 代入点 $ (1, 2) $：$ 1 + p + q = 2 $ → $ p + q = 1 $ 代入点 $ (2, 3) $：$ 4 + 2p + q = 3 $ → $ 2p + q = -1 $ 联立解得：$ p = -2 $，$ q = 3 $ | $ p = -2 $，$ q = 3 $ |
| 4 | 求函数 $ y = x^2 - 4x $ 与x轴的交点。 | 解方程 $ x^2 - 4x = 0 $ → $ x(x - 4) = 0 $ 所以交点为 $ x = 0 $ 和 $ x = 4 $ | 交点为 $ (0, 0) $ 和 $ (4, 0) $ |
| 5 | 已知二次函数的顶点为 $ (3, -5) $，且过点 $ (0, 4) $，求该函数的解析式。 | 设函数为 $ y = a(x - 3)^2 - 5 $ 代入点 $ (0, 4) $：$ 4 = a(0 - 3)^2 - 5 $ → $ 9a = 9 $ → $ a = 1 $ 所以解析式为 $ y = (x - 3)^2 - 5 $ | 解析式为 $ y = x^2 - 6x + 4 $ |
三、总结
二次函数是初中数学中的重点内容，涉及图像、顶点、对称轴、交点等多个方面。通过练习不同类型的题目，可以加深对二次函数的理解。建议多做题、多画图，结合代数与几何思维，提升综合运用能力。
希望以上例题与解析能够帮助同学们更好地掌握二次函数的相关知识！
