【等比数列和等差数列公式】在数学中,数列是一种按一定顺序排列的数的集合。其中,等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型,它们在实际问题中有着广泛的应用。本文将对这两种数列的基本概念、通项公式及求和公式进行总结,并通过表格形式直观展示。
一、等差数列
定义:一个数列中,从第二项开始,每一项与前一项的差是一个常数,这样的数列称为等差数列。
通项公式:
若首项为 $ a_1 $,公差为 $ d $,则第 $ n $ 项为:
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
前 $ n $ 项和公式:
$$
S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d] = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}
$$
二、等比数列
定义:一个数列中,从第二项开始,每一项与前一项的比是一个常数,这样的数列称为等比数列。
通项公式:
若首项为 $ a_1 $,公比为 $ r $,则第 $ n $ 项为:
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n - 1}
$$
前 $ n $ 项和公式:
当 $ r \neq 1 $ 时,前 $ n $ 项和为:
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
$$
当 $ r = 1 $ 时,所有项相等,即:
$$
S_n = n \cdot a_1
$$
三、对比总结(表格)
项目 | 等差数列 | 等比数列 |
定义 | 每一项与前一项的差为常数 | 每一项与前一项的比为常数 |
首项 | $ a_1 $ | $ a_1 $ |
公差 | $ d $ | 无(用公比表示) |
公比 | 无 | $ r $ |
第 $ n $ 项 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $ |
前 $ n $ 项和 | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $($ r \neq 1 $) |
当 $ r = 1 $ 时 | 不适用 | $ S_n = n \cdot a_1 $ |
四、应用举例
- 等差数列:如每天增加固定的工资,形成等差数列。
- 等比数列:如银行存款的复利计算,形成等比数列。
通过以上总结,我们可以清晰地了解等差数列和等比数列的规律与公式,有助于在实际问题中快速识别并运用这些数列模型。