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等比数列和等差数列公式

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等比数列和等差数列公式,快急死了,求给个正确答案!

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2025-08-07 12:35:00

等比数列和等差数列公式】在数学中,数列是一种按一定顺序排列的数的集合。其中,等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型,它们在实际问题中有着广泛的应用。本文将对这两种数列的基本概念、通项公式及求和公式进行总结,并通过表格形式直观展示。

一、等差数列

定义:一个数列中,从第二项开始,每一项与前一项的差是一个常数,这样的数列称为等差数列。

通项公式:

若首项为 $ a_1 $,公差为 $ d $,则第 $ n $ 项为:

$$

a_n = a_1 + (n - 1)d

$$

前 $ n $ 项和公式:

$$

S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d] = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

$$

二、等比数列

定义:一个数列中,从第二项开始,每一项与前一项的比是一个常数,这样的数列称为等比数列。

通项公式:

若首项为 $ a_1 $,公比为 $ r $,则第 $ n $ 项为:

$$

a_n = a_1 \cdot r^{n - 1}

$$

前 $ n $ 项和公式:

当 $ r \neq 1 $ 时,前 $ n $ 项和为:

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}

$$

当 $ r = 1 $ 时,所有项相等,即:

$$

S_n = n \cdot a_1

$$

三、对比总结(表格)

项目 等差数列 等比数列
定义 每一项与前一项的差为常数 每一项与前一项的比为常数
首项 $ a_1 $ $ a_1 $
公差 $ d $ 无(用公比表示)
公比 $ r $
第 $ n $ 项 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ $ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $
前 $ n $ 项和 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $($ r \neq 1 $)
当 $ r = 1 $ 时 不适用 $ S_n = n \cdot a_1 $

四、应用举例

- 等差数列:如每天增加固定的工资,形成等差数列。

- 等比数列:如银行存款的复利计算,形成等比数列。

通过以上总结,我们可以清晰地了解等差数列和等比数列的规律与公式,有助于在实际问题中快速识别并运用这些数列模型。

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