在数学中，我们经常会遇到一些有趣的数字规律问题。今天，让我们一起探讨这样一个题目：一个大于10的整数，它被5除时余1，同时被7除时也余1。那么，满足这些条件的最小整数是多少呢？

首先，我们可以将这个问题转化为一个同余方程组：

\[ x \equiv 1 \pmod{5} \]

\[ x \equiv 1 \pmod{7} \]

为了找到满足这两个条件的最小整数，我们需要寻找一个数 \(x\)，它既能被5除余1，也能被7除余1。观察这两个条件，我们可以发现，\(x-1\) 必须同时是5和7的倍数。

因此，\(x-1\) 是5和7的最小公倍数。计算最小公倍数时，我们注意到5和7是互质的（即它们的最大公约数为1），所以它们的最小公倍数就是两者的乘积：

\[ \text{lcm}(5, 7) = 5 \times 7 = 35 \]

于是，\(x-1\) 必须是35的倍数。也就是说，\(x\) 可以表示为：

\[ x = 35k + 1 \]

其中，\(k\) 是一个非负整数。

接下来，我们需要找到一个大于10的最小整数 \(x\)。当 \(k=0\) 时，\(x = 1\)，这显然不符合条件；当 \(k=1\) 时，\(x = 35 \times 1 + 1 = 36\)，这是一个大于10的数。

因此，满足条件的最小整数是36。

总结一下，我们通过分析同余方程组，结合最小公倍数的概念，最终得出答案：一个大于10的整数，如果它除以5余1且除以7余1，那么这个数最小是36。

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