【余子式和代数余子式是什么?】在矩阵与行列式的计算中，余子式和代数余子式是两个非常重要的概念。它们在计算行列式、求逆矩阵以及解线性方程组时都有广泛的应用。本文将对这两个概念进行简要总结，并通过表格形式加以对比说明。
一、基本概念
1. 余子式（Minor）：
在n阶行列式中，去掉某一行和某一列后所剩下的(n-1)阶行列式，称为该元素的余子式，记作 $ M_{ij} $。余子式仅表示去掉某行某列后的行列式值，不考虑符号。
2. 代数余子式（Cofactor）：
代数余子式是在余子式的基础上乘以一个符号因子 $ (-1)^{i+j} $，即 $ C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} $。它不仅包含余子式的数值，还包含了正负号的变化。
二、总结对比表
| 项目 | 余子式（Minor） | 代数余子式（Cofactor） |
| 定义 | 去掉某一行和某一列后的行列式值 | 余子式乘以 $ (-1)^{i+j} $ 的结果 |
| 符号 | 不含符号，只表示数值 | 包含符号，由位置决定 |
| 记号 | $ M_{ij} $ | $ C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} $ |
| 应用 | 行列式展开的基础之一 | 用于行列式展开、逆矩阵计算等 |
| 是否有符号 | 无 | 有，根据行、列索引确定 |
三、举例说明
假设有一个3×3矩阵：
$$
A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
$$
- 元素 $ a_{11} $ 的余子式为：
$$
M_{11} =
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
$$
- 元素 $ a_{11} $ 的代数余子式为：
$$
C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot M_{11} = M_{11}
$$
- 元素 $ a_{12} $ 的代数余子式为：
$$
C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot M_{12} = -M_{12}
$$
四、小结
余子式是计算行列式的重要工具，而代数余子式则在实际应用中更为常见，尤其是在行列式展开和矩阵求逆过程中。理解两者之间的区别与联系，有助于更深入地掌握线性代数的相关知识。
