【证明维数公式】在向量空间理论中，维数公式是一个重要的结论，用于描述两个子空间的和与交的维数之间的关系。该公式为：
$$
\dim(U + V) = \dim U + \dim V - \dim(U \cap V)
$$
其中，$U$ 和 $V$ 是一个向量空间 $W$ 的两个子空间。本文将对这一公式的推导过程进行总结，并以表格形式展示关键步骤与结论。
一、基本概念回顾
| 概念 | 定义 |
| 向量空间 | 由一组向量构成的集合，满足加法和数乘运算的封闭性 |
| 子空间 | 向量空间的一个非空子集，且在相同运算下封闭 |
| 维数 | 向量空间中极大线性无关组的向量个数 |
| 子空间的和 | $U + V = \{u + v \mid u \in U, v \in V\}$ |
| 子空间的交 | $U \cap V = \{x \mid x \in U \text{ 且 } x \in V\}$ |
二、证明思路概述
1. 构造基底：从 $U \cap V$ 中选取一组基，再分别扩展到 $U$ 和 $V$ 的基。
2. 组合基底：将 $U$ 和 $V$ 的基合并，去掉重复部分，得到 $U + V$ 的基。
3. 计算维数：根据基底的个数，得出各子空间的维数关系。
三、详细证明过程
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 设 $U$ 和 $V$ 是向量空间 $W$ 的两个子空间，令 $B_1 = \{v_1, v_2, \dots, v_k\}$ 是 $U \cap V$ 的一个基。 |
| 2 | 将 $B_1$ 扩展为 $U$ 的基 $B_U = \{v_1, v_2, \dots, v_k, u_1, u_2, \dots, u_m\}$，则 $\dim U = k + m$。 |
| 3 | 将 $B_1$ 扩展为 $V$ 的基 $B_V = \{v_1, v_2, \dots, v_k, w_1, w_2, \dots, w_n\}$，则 $\dim V = k + n$。 |
| 4 | 构造 $U + V$ 的基：将 $B_U$ 和 $B_V$ 合并，去除重复项（即 $B_1$ 中的元素），得到 $B_{U+V} = \{v_1, v_2, \dots, v_k, u_1, \dots, u_m, w_1, \dots, w_n\}$。 |
| 5 | 因此，$\dim(U + V) = k + m + n$。 |
| 6 | 代入前面的结果：$\dim U + \dim V - \dim(U \cap V) = (k + m) + (k + n) - k = k + m + n$。 |
| 7 | 得出结论：$\dim(U + V) = \dim U + \dim V - \dim(U \cap V)$。 |
四、总结
| 公式 | $\dim(U + V) = \dim U + \dim V - \dim(U \cap V)$ |
| 作用 | 描述两个子空间的和与交的维数关系 |
| 应用 | 在线性代数、矩阵理论、几何等多领域有广泛应用 |
| 关键点 | 基底的选取与合并是证明的核心 |
通过上述推导可以看出，维数公式不仅是一个简洁的数学表达，更反映了子空间结构之间的重要联系。理解这一公式有助于深入掌握向量空间的性质与结构。
