【平面向量的垂直和平行公式?】在平面向量的学习中，判断两个向量是否垂直或平行是常见的问题。掌握相关的公式和判定方法，有助于提高解题效率和理解几何关系。以下是对平面向量垂直与平行的相关公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、平面向量的基本概念
设向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则：
- 向量的模：$
- 向量的点积（数量积）：$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$
- 向量的叉积（仅适用于三维空间）：在二维中可视为标量形式 $x_1y_2 - x_2y_1$
二、垂直与平行的判定条件
| 判定关系 | 条件描述 | 公式表达 |
| 垂直 | 两向量夹角为90°，点积为零 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ 即 $x_1x_2 + y_1y_2 = 0$ |
| 平行 | 两向量方向相同或相反，存在实数 $k$ 使得 $\vec{a} = k\vec{b}$ | $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$（当 $x_2, y_2 \neq 0$） 或 $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$ |
三、补充说明
- 当判断两个向量是否平行时，若其中一个向量为零向量（即 $(0, 0)$），则它与任何向量都视为平行。
- 点积为零是判断垂直的标准方法，而叉积为零则是另一种判断方式，尤其在三维空间中更为常用。
- 在实际应用中，垂直和平行的关系常用于几何图形分析、物理中的力分解等问题。
通过上述总结，可以清晰地了解平面向量垂直与平行的判断依据及对应的数学表达。掌握这些基本公式，有助于在后续学习中快速解决问题。
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