【常用积分公式】在数学学习和应用中，积分是一个非常重要的工具，尤其在微积分、物理、工程等领域有着广泛的应用。掌握一些常用的积分公式，可以帮助我们更快地解决实际问题。以下是一些常见的不定积分与定积分的基本公式，以加表格的形式呈现，便于查阅与记忆。
一、基本积分公式总结
1. 常数函数的积分
积分结果为：常数乘以变量。
2. 幂函数的积分
对于 $ x^n $（$ n \neq -1 $），其积分公式为 $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $。
3. 指数函数的积分
$ e^x $ 的积分是自身；对于 $ a^x $，积分结果为 $ \frac{a^x}{\ln a} + C $。
4. 三角函数的积分
如正弦、余弦、正切等函数的积分有固定形式，需注意符号与系数的变化。
5. 反三角函数的积分
涉及反正弦、反余弦、反正切等函数的积分，通常需要特殊技巧或查表。
6. 有理函数的积分
可通过分解因式、部分分式等方法进行积分。
7. 无理函数的积分
如根号内的多项式，可能需要换元法或配方法处理。
二、常用积分公式表
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x)\,dx $ | 说明 | ||
| $ k $（常数） | $ kx + C $ | $ k $ 为任意实数 | ||
| $ x^n $（$ n \neq -1 $） | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | $ n $ 为任意实数 | ||
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | 指数函数的积分仍为自身 | ||
| $ a^x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ | 底数为任意正数 | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | 正弦函数的积分是负余弦 | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | 余弦函数的积分是正弦 | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ | 正切函数的积分 |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ | 余切函数的积分 |
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | 正割平方的积分 | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | 余割平方的积分 | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ | 倒数函数的积分 |
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | 反正切函数形式 | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | 反正弦函数形式 |
三、注意事项
- 积分常数 $ C $ 是不可忽略的，表示原函数的任意常数项。
- 在计算定积分时，应使用牛顿—莱布尼茨公式：$ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) $。
- 对于复杂函数，建议先进行代数化简或变量替换，再应用基本公式。
- 部分特殊函数的积分可能需要用数值方法或查积分表来求解。
通过熟练掌握这些常用积分公式，可以提高解题效率，减少重复计算。同时，理解积分的本质和几何意义，有助于更深入地掌握微积分知识。
