在高中数学中，向量是一个重要的知识点，它不仅在几何中有广泛应用，在物理、工程等领域也起着至关重要的作用。掌握向量的相关公式和性质，有助于提高解题效率和理解能力。本文将对高中阶段所涉及的向量相关公式进行系统整理与详细讲解，帮助学生全面掌握这一部分内容。
一、向量的基本概念
1. 向量的定义
向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示，记作 $\vec{a}$ 或 $ \overrightarrow{AB} $。
2. 向量的表示方式
- 几何表示：用有向线段表示；
- 坐标表示：在平面直角坐标系中，设向量起点为原点，则向量可表示为 $(x, y)$；
- 符号表示：如 $\vec{a} = (a_1, a_2)$。
3. 向量的模（长度）
向量 $\vec{a} = (a_1, a_2)$ 的模为：
$$
|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
$$
二、向量的加减法
1. 向量加法
设 $\vec{a} = (a_1, a_2)$，$\vec{b} = (b_1, b_2)$，则：
$$
\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
$$
2. 向量减法
$$
\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2)
$$
3. 向量加法的几何意义
- 平行四边形法则：两个向量首尾相接，形成一个平行四边形；
- 三角形法则：将一个向量的终点作为另一个向量的起点，连接起点与终点即为和向量。
三、向量的数乘
1. 定义
实数 $k$ 与向量 $\vec{a}$ 相乘，得到一个新的向量 $k\vec{a}$，其方向由 $k$ 的正负决定，长度为 $|k||\vec{a}|$。
2. 运算规则
$$
k\vec{a} = (ka_1, ka_2)
$$
3. 数乘的几何意义
- 若 $k > 0$，则方向不变，长度变为原来的 $k$ 倍；
- 若 $k < 0$，则方向相反，长度仍为 $|k|$ 倍。
四、向量的坐标表示与基底
1. 单位向量
单位向量是指模为1的向量，常用符号 $\vec{i}, \vec{j}$ 表示：
$$
\vec{i} = (1, 0), \quad \vec{j} = (0, 1)
$$
2. 向量的基底表示
任意向量 $\vec{a} = (a_1, a_2)$ 可以表示为：
$$
\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j}
$$
五、向量的数量积（点积）
1. 定义
向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的数量积（点积）为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
$$
其中 $\theta$ 是两向量之间的夹角。
2. 坐标形式
若 $\vec{a} = (a_1, a_2)$，$\vec{b} = (b_1, b_2)$，则：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2
$$
3. 应用
- 判断两向量是否垂直：若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，则 $\vec{a} \perp \vec{b}$；
- 计算夹角：$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$。
六、向量的向量积（叉积）
1. 定义
在三维空间中，向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 与 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ 的向量积（叉积）为：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\vec{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\vec{k}
$$
2. 性质
- 向量积的结果是一个向量，且与原向量都垂直；
- 模长为 $|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$，表示由两向量构成的平行四边形面积；
- 交换律不成立，即 $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$。
七、向量的共线与垂直条件
1. 共线条件
向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线当且仅当存在实数 $k$，使得：
$$
\vec{a} = k\vec{b}
$$
或者 $\vec{a} \times \vec{b} = 0$（三维空间）。
2. 垂直条件
向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直当且仅当：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 0
$$
八、向量的投影
1. 定义
向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影为：
$$
\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b}
$$
2. 投影长度
投影的长度为：
$$
|\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a}| = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|}
$$
九、向量的应用举例
1. 求距离
点 $A(x_1, y_1)$ 到点 $B(x_2, y_2)$ 的距离为：
$$
AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
$$
2. 判断三点共线
若三点 $A, B, C$ 满足 $\vec{AB} = k\vec{AC}$，则三点共线。
3. 计算面积
由向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 构成的平行四边形面积为：
$$
S = |\vec{a} \times \vec{b}|
$$
十、总结
向量作为高中数学的重要工具，贯穿于几何、代数和物理等多个领域。掌握好向量的基本概念、运算规则以及应用方法，能够有效提升解题能力和逻辑思维水平。希望本文能帮助同学们系统地复习和巩固向量的相关知识，为后续学习打下坚实基础。
如需进一步了解向量在立体几何或解析几何中的具体应用，欢迎继续关注相关内容。
