【余子式怎么求?】在矩阵运算中，余子式是一个重要的概念，尤其在计算行列式时经常用到。余子式的定义和计算方法相对明确，但初学者在理解过程中可能会遇到一些困惑。本文将从基本定义出发，结合实例，总结余子式的求法，并通过表格形式清晰展示。
一、什么是余子式？
在n阶行列式中，对于元素 $ a_{ij} $（即第i行第j列的元素），其对应的余子式（Cofactor）记作 $ M_{ij} $，是去掉该元素所在行和列后所得到的(n-1)阶行列式。
余子式通常与符号 $ (-1)^{i+j} $ 相乘，形成代数余子式，即 $ A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} $。
二、余子式的求法步骤
1. 确定目标元素：找到要计算余子式的元素 $ a_{ij} $。
2. 删除对应行和列：将该元素所在的第i行和第j列全部删除。
3. 构造新行列式：剩下的元素构成一个(n-1)阶行列式。
4. 计算新行列式值：这个值就是该元素的余子式 $ M_{ij} $。
三、举例说明
以一个3×3矩阵为例：
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{bmatrix}
$$
我们来计算元素 $ a_{22} = 5 $ 的余子式 $ M_{22} $：
1. 删除第2行和第2列：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
7 & 9 \\
\end{bmatrix}
$$
2. 计算该行列式：
$$
M_{22} = (1 \cdot 9) - (3 \cdot 7) = 9 - 21 = -12
$$
所以，$ M_{22} = -12 $
四、余子式计算总结表
| 元素位置 | 删除行 | 删除列 | 剩余矩阵 | 余子式值 |
| $ a_{11} $ | 第1行 | 第1列 | $ \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} $ | $ 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = 45 - 48 = -3 $ |
| $ a_{12} $ | 第1行 | 第2列 | $ \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{bmatrix} $ | $ 4 \cdot 9 - 6 \cdot 7 = 36 - 42 = -6 $ |
| $ a_{13} $ | 第1行 | 第3列 | $ \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} $ | $ 4 \cdot 8 - 5 \cdot 7 = 32 - 35 = -3 $ |
| $ a_{21} $ | 第2行 | 第1列 | $ \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} $ | $ 2 \cdot 9 - 3 \cdot 8 = 18 - 24 = -6 $ |
| $ a_{22} $ | 第2行 | 第2列 | $ \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{bmatrix} $ | $ 1 \cdot 9 - 3 \cdot 7 = 9 - 21 = -12 $ |
| $ a_{23} $ | 第2行 | 第3列 | $ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} $ | $ 1 \cdot 8 - 2 \cdot 7 = 8 - 14 = -6 $ |
| $ a_{31} $ | 第3行 | 第1列 | $ \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} $ | $ 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3 $ |
| $ a_{32} $ | 第3行 | 第2列 | $ \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} $ | $ 1 \cdot 6 - 3 \cdot 4 = 6 - 12 = -6 $ |
| $ a_{33} $ | 第3行 | 第3列 | $ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} $ | $ 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3 $ |
五、总结
余子式的计算过程虽然看似繁琐，但只要按照步骤操作，就能准确得出结果。关键在于：
- 正确识别目标元素；
- 准确删除对应的行和列；
- 正确计算新的行列式。
通过上述表格，可以快速查找每个元素的余子式，便于后续计算行列式或进行其他矩阵运算。
如需进一步了解代数余子式或行列式的展开公式，可继续关注相关知识拓展。
