在数学领域中，向量的运算是一个重要的组成部分，它不仅在理论研究中有广泛应用，也在实际问题解决中扮演着关键角色。当我们提到“向量a乘以向量b”的时候，实际上需要明确这里的“乘”具体指的是哪种运算方式。因为向量之间的“乘法”并非单一概念，而是包含了多种不同的定义和应用场景。

点积（数量积）

点积是最常见的向量间运算之一，其结果是一个标量（即一个普通的数值）。对于两个n维向量a=(a₁,a₂,...,an)和b=(b₁,b₂,...,bn)，它们的点积计算公式为：

\[ a·b = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n \]

点积的意义在于能够反映两个向量之间的夹角信息以及它们的方向关系。如果点积大于零，则表示两向量夹角小于90度；若等于零，则说明两向量垂直；而小于零则表明夹角大于90度。

此外，通过点积还可以求得向量间的余弦值，进而用于判断两者相似程度或进行投影操作等。

叉积（向量积）

当涉及到三维空间中的向量时，叉积便成为另一种重要的运算方法。给定两个三维向量a=(ax,ay,az)和b=(bx,by,bz)，它们的叉积定义为一个新的向量c，该向量垂直于原始两向量所构成的平面，并且遵循右手定则来确定方向。叉积的具体表达式如下：

\[ c = a × b = \begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_x & a_y & a_z \\

b_x & b_y & b_z \\

\end{vmatrix} \]

其中i,j,k分别代表x,y,z轴上的单位向量。

叉积的结果是一个新向量，其长度等于|a||b|sinθ（θ为a与b之间的夹角），并且指向由a到b旋转时最短路径的方向。这种特性使得叉积非常适合用来解决诸如面积计算、力矩分析等问题。

结论

综上所述，“向量a乘以向量b”的确切含义取决于上下文环境以及所采用的具体运算规则。无论是点积还是叉积，这两种基本运算都为我们提供了丰富的工具去探索和理解向量世界里的各种可能性。因此，在面对具体问题时，我们需要根据实际情况选择合适的运算方式，并结合几何直观加以验证，从而确保得出准确无误的答案。