在初中或高中阶段，我们经常遇到一些特殊的三角函数值计算问题，比如求tan15°的值。这看似简单的问题背后其实蕴含着丰富的数学逻辑与技巧。本文将带领大家一步步推导出tan15°的具体数值，并探讨其中涉及的一些数学思想。
一、回顾基础知识
首先，我们需要知道什么是正切函数（tangent）。对于任意角θ，其正切值定义为：
\[
\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
\]
因此，要计算tan15°，我们需要先分别找到sin15°和cos15°的值。
二、利用特殊角公式
我们知道30°是一个特殊的锐角，而15°恰好是30°的一半。通过二倍角公式，我们可以间接求得sin15°和cos15°的精确值。
1. 二倍角公式
\[
\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)
\]
\[
\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)
\]
令α=15°，则2α=30°。已知：
\[
\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
根据二倍角公式，可以列出以下两个方程：
\[
\sin 30^\circ = 2\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2}
\]
\[
\cos 30^\circ = \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
三、引入辅助变量
为了简化计算过程，我们设：
\[
x = \sin 15^\circ, \quad y = \cos 15^\circ
\]
则上述两个方程变为：
\[
2xy = \frac{1}{2} \tag{1}
\]
\[
y^2 - x^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \tag{2}
\]
由(1)，可得：
\[
xy = \frac{1}{4}
\]
接下来，我们将(2)中的\(y\)用\(x\)表示。由于\(x^2 + y^2 = 1\)（单位圆性质），所以\(y = \sqrt{1-x^2}\)。代入(2)得到：
\[
(\sqrt{1-x^2})^2 - x^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
化简后：
\[
1 - 2x^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
进一步整理：
\[
2x^2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
x^2 = \frac{2-\sqrt{3}}{4}
\]
因此：
\[
x = \sin 15^\circ = \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}
\]
同理，\(y = \cos 15^\circ = \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}\)。
四、计算tan15°
现在我们已经得到了sin15°和cos15°的表达式，可以直接代入正切函数的定义：
\[
\tan 15^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ}
\]
代入具体值：
\[
\tan 15^\circ = \frac{\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}}{\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}
\]
为了化简分母，分子分母同时乘以\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\)：
\[
\tan 15^\circ = \sqrt{\frac{(2-\sqrt{3})^2}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}}
\]
注意到\((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4-3 = 1\)，所以：
\[
\tan 15^\circ = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = 2-\sqrt{3}
\]
五、总结
最终答案为：
\[
\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}
\]
这个结果可以通过计算器验证，也可以用于解决其他相关问题。希望本文的详细推导能帮助你更好地理解这一过程！
