【数学穿根法】“数学穿根法”是一种在解高次不等式或分式不等式时常用的技巧，尤其适用于多项式函数的符号分析。它通过找出函数的零点，并根据这些零点将数轴划分为若干区间，再结合函数的图像趋势来判断每个区间内的符号变化，从而快速确定不等式的解集。
一、数学穿根法的基本原理
1. 分解因式：将不等式化为乘积形式，如 $ f(x) = (x - a_1)(x - a_2)\cdots(x - a_n) $。
2. 找零点：求出所有使表达式为零的点，即 $ x = a_1, a_2, \dots, a_n $。
3. 排序排列：将这些零点按从小到大的顺序排列在数轴上。
4. 穿根画线：从右往左（或从左往右）依次穿过每个零点，根据奇偶次幂决定是否改变符号。
5. 判断符号：根据最右侧区间的符号，逐步推导其他区间的符号。
6. 写出解集：根据不等式类型（大于、小于、大于等于、小于等于）选择相应的区间。
二、穿根法步骤总结表
| 步骤 | 操作 | 说明 |
| 1 | 分解因式 | 将不等式转化为乘积形式，便于找零点 |
| 2 | 找出所有零点 | 解方程 $ f(x) = 0 $ 得到所有实数根 |
| 3 | 排序排列 | 将零点按大小顺序排列在数轴上 |
| 4 | 穿根画线 | 从右向左（或左向右）穿过每个零点，注意奇偶次幂影响符号变化 |
| 5 | 判断符号 | 根据最右端区间的符号，逐个判断各区间符号 |
| 6 | 写出解集 | 根据不等式符号（>、<、≥、≤）确定最终解集 |
三、穿根法的应用实例
例题：解不等式
$$
(x + 1)(x - 2)^2(x - 3) > 0
$$
步骤解析：
1. 分解因式：已为乘积形式。
2. 找零点：$ x = -1, 2, 3 $
3. 排序排列：数轴上为 $ -1 < 2 < 3 $
4. 穿根画线：
- 从右向左，先经过 $ x = 3 $，因为是奇次幂，符号变号；
- 经过 $ x = 2 $，由于是平方（偶次幂），符号不变；
- 经过 $ x = -1 $，奇次幂，符号变号。
5. 判断符号：
- 最右区间 $ x > 3 $：取 $ x = 4 $，代入得正；
- 区间 $ 2 < x < 3 $：负；
- 区间 $ -1 < x < 2 $：正；
- 区间 $ x < -1 $：负。
6. 写出解集：满足 $ > 0 $ 的区间为
$$
(-1, 2) \cup (3, +\infty)
$$
四、注意事项
- 若有重根（如 $ (x - a)^2 $），则穿根时不改变符号；
- 注意不等式中的等号是否包含，若包含，则需将对应点加入解集；
- 对于分式不等式，还需考虑分母不为零的情况。
通过以上方法，可以高效地解决高次不等式问题，避免繁琐的逐个代入验证，提高解题效率和准确性。
