在数学和物理学中，向量是一个非常重要的概念。当提到两个向量之间的运算时，我们通常会想到两种主要的乘法形式：点积（内积）和叉积（外积）。这两种运算方式虽然都被称为“向量的乘法”，但它们的意义、表达形式以及应用场景完全不同。

点积（内积）

点积是两个向量之间的标量值运算，其结果是一个数值而非向量。设向量 \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) 和 \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\)，则它们的点积公式为：

\[

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

\]

或者更简洁地表示为：

\[

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta

\]

其中，\(|\vec{a}|\) 和 \(|\vec{b}|\) 分别表示向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的模长，而 \(\theta\) 是两向量之间的夹角。

点积的结果反映了两个向量方向上的相似程度。如果点积为正，则说明两向量大致同向；若为负，则说明它们反向；若为零，则表明两向量垂直。

叉积（外积）

叉积是一种矢量运算，它产生的结果是一个新的向量，且该向量垂直于原来的两个向量所在的平面。对于三维空间中的向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\)，叉积公式为：

\[

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3

\end{vmatrix}

\]

其中，\(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) 分别代表沿 x 轴、y 轴、z 轴的单位向量。通过行列式展开可得：

\[

\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

\]

叉积的方向由右手定则决定：将右手拇指指向第一个向量的方向，其余四指弯曲的方向即为第二个向量的方向时，大拇指所指的方向就是叉积的方向。

实际应用

点积广泛应用于计算投影长度、判断角度关系等领域；而叉积则常用于求解面积、体积问题，特别是在几何学、力学及计算机图形学中具有重要地位。

总之，“向量a乘以向量b”并非单一含义，具体指代哪种运算需根据上下文确定。希望以上内容能够帮助您更好地理解这一知识点！